WI - H4 & H9
Cijfers en tabellen
Als je cijfers uit een tekst moet halen, moet je de tekst aandachtig doornemen, en de gegevens in een tabel verwerken (als dat mogelijk is). Door gegevens in een tabel te combineren, kun je extra informatie krijgen.
In tabel 1 zie je het aantal bioscopen in Gelderland, tussen 1985 en 2020, gemeten elke 5 jaar. Als je een schatting wilt maken voor het aantal in het jaar 2003, moet je interpoleren (schatten binnen de reeks): in 2000 waren er 52 bioscopen, en in 2005 waren dat er 58. Dat is in 5 jaar tijd 6 bioscopen meer, dus in 1 jaar 6 ÷ 5 = 1,2 bioscopen meer. 2003 is 3 jaar na 2000, dus je schatting is dan 52 + (1,2 × 3) ≈ 56 bioscopen in 2003.
Bij interpoleren kijk je dus naar de 2 waardes die “naast” de waarde liggen die je wilt schatten.
Als je een schatting wilt maken voor het aantal in het jaar 1981, moet je extrapoleren (schatten buiten de reeks): in 1985 waren er 38 bioscopen, en in 1990 waren dat er 44. Dat is in 5 jaar tijd 8 bioscopen meer, dus in 1 jaar 8 ÷ 5 = 1,6 bioscopen meer. 1981 is 4 jaar voor 1985, dus je schatting is dan 38 - (1,6 × 4) ≈ 32 bioscopen in 1981. Je gebruikt hier min, omdat het aantal is toegenomen tussen 1985 en 1990, dus dan was het in 1981 (waarschijnlijk) nog lager dan in 1985.
Interpoleren en extrapoleren zijn schattingen, en dus vaak niet heel accuraat.
Procenten
Een procentuele verandering bereken je met de formule (NIEUW - OUD) ÷ OUD × 100%. Als je uitkomst negatief is, heb je te maken met een daling. Bij de vraag hoeveel procent is A meer of minder dan B gebruik je de formule (A - B) ÷ B × 100%. Je deelt bij het berekenen van een percentage altijd door het getal waarmee je het andere getal wilt vergelijken.
Een stoel van €36 wordt 25% in prijs verhoogd. 25% van 36 is 0,25 × 36 = 9. De nieuwe prijs is dus 36 + 9 = €45. Dit kun je ook schrijven als 36 + (0,25 × 36) = €45.
De oude prijs is 100%, en bij de nieuwe prijs komt daar 25% bij. De nieuwe prijs is dus 125% van de oude prijs. Je kunt de nieuwe prijs van de stoel dus berekenen met de formule NIEUW = 1,25 × OUD. Het getal 1,25 is de vermenigvuldigingsfactor van een toename van 25%.
Bij een afname van 20% kun je hetzelfde doen: de oude prijs is 100%, daar gaat 20% van af, dus de nieuwe prijs is 80% van de oude prijs. De vermenigvuldigingsfactor is dan 0,80. Bij een vermenigvuldigingsfactor van 0,928 hoort dus een afname van 7,2%.
Een boek is met 13% in prijs gestegen, en kost nu €23 (NIEUW). De vermenigvuldigingsfactor is 1,13. Je weet dus dat 1,13 × OUD = 23. De formule voor OUD is dan 23 ÷ 1,13 = €20,35.
Als een getal met 23,8% toeneemt in periode A - B, is de vermenigvuldigingsfactor 1,238. Als dat getal vervolgens in de periode B - C met 10,3% afneemt, is de vermenigvuldigingsfactor 0,897. De vermenigvuldigingsfactor voor de periode A - C is dan 1,238 × 0,897 = 1,088.
Op een school komen 302 leerlingen met de tram naar school. Dat is 29% van alle leerlingen, dus 0,29 × TOTAAL = 302. De formule voor TOTAAL is dus 302 ÷ 0,29 ≈ 1041.
Diagrammen
Om gegevens overzichtelijk te maken, kun je gebruikmaken van een beelddiagram (met figuren), een staafdiagram, een cirkeldiagram (ook wel taartdiagram), een lijndiagram, een histogram en een steel-bladdiagram. Je kunt diagrammen misleidend gebruiken, door bijvoorbeeld een verkeerde schaalverdeling te gebruiken, door weinig informatie langs de assen te zetten, of door niet te beginnen bij 0 (en geen scheurlijn gebruiken). Als je niet begint bij 0, kan je stijging of daling veel groter lijken dan dat deze daadwerkelijk is.
Formule-overzicht H4
vermfct = vermenigvuldigingsfactor
procentDeelTot = percentage deel van totaal
| Procentuele verandering | (NIEUW - OUD) ÷ OUD × 100% |
|---|---|
| Procentueel verschil van A t.o.v. B | (A - B) ÷ B × 100% |
| NIEUW bij procentuele toe- of afname | NIEUW = vermfct × OUD |
| OUD bij procentuele toe- of afname | OUD = NIEUW ÷ vermfct |
| TOTAAL | TOTAAL = DEEL ÷ (procentDeelTot ÷ 100) |
| DEEL | DEEL = TOTAAL × (procentDeelTot ÷ 100) |
Centrum- en spreidingsmaten
Het gemiddelde is de som van alle getallen, gedeeld door het aantal getallen. De modus is het getal met de grootste frequentie (die het vaakste voorkomt). De mediaan is bij een oneven aantal getallen het middelste getal. Bij een even aantal getallen is de mediaan het gemiddelde van de middelste 2 getallen. Om de mediaan te berekenen, moet je de waarnemingsgetallen op volgorde zetten.
De mediaan verdeelt een serie waarnemingsgetallen in 2 helften. Van deze helften kun je ook weer de mediaan nemen. Je hebt de waarnemingsgetallen dan opgedeeld in 4 groepen. De mediaan van de eerste helft is de Q1, en van de tweede helft Q3. De mediaan van de hele reeks waarnemingsgetallen is de Q2. Hiernaast zie je de mediaan, Q1 en Q3 voor een reeks met 61 waarnemingsgetallen.
De spreidingsbreedte maakt duidelijk of de getallen in een reeks dicht bij elkaar liggen, of juist ver uit elkaar. Spreidingsbreedte = grootste getal - kleinste getal. De kwartielafstand maakt duidelijk of de getallen erg dicht bij de mediaan liggen, of er juist ver van af. Kwartielafstand = Q3 - Q1.
De boxplot en handelingen
In een boxplot, zoals in de figuur hierboven, kun je makkelijk het kleinste getal, de Q1, de mediaan, de Q3 en het grootste getal aflezen. Elk stuk van de boxplot is ongeveer 25%, dus tussen het kleinste getal en Q1 is 25%, enzovoorts.
Bij het kopen van een nieuwe bank kun je bij het bedrijf Bänk kiezen uit 3 kleuren: zwart, grijs en bruin. Ook kun je kiezen tussen stalen of houten poten, en de grootte: klein, middel of groot. Er zijn in totaal 3 × 2 × 3 = 18 verschillende banken te koop bij Bänk. Dit is een voorbeeld van de vermenigvuldigingsregel: als handeling 1 op a manieren kan worden uitgevoerd, en handeling 2 op b manieren worden uitgevoerd, dan kan handeling 1 en handeling 2 op a × b manieren.
Tussen de dorpen Bovenbeek en Laagveld liggen 5 wegen. Als je een rondwandeling maakt van Bovenbeek naar Laagveld, en weer terug, heb je 5 × 5 = 25 verschillende routes die je kan nemen. Als je op de terugweg niet dezelfde route mag nemen als op de heenweg, heb je nog maar 5 × 4 = 20 verschillende routes, want op de terugweg heb je 1 keuze minder. Controleer dus altijd of herhalingen zijn toegestaan. Als er geen herhalingen zijn toegestaan, dan moet je bij de volgende optie daarmee rekening houden.
Bij sommige telproblemen moet je niet alleen vermenigvuldigen, maar ook optellen. Hierbij hoort de somregel: als handeling 1 op a manieren kan worden uitgevoerd, en handeling 2 op b manieren worden uitgevoerd, dan kan handeling 1 of handeling 2 op a + b manieren. De vermenigvuldigingsregel wordt dus gebruikt als er sprake is van handeling 1 en handeling 2, en de somregel als er sprake is van handeling 1 of handeling 2.
Voorbeeld: Pieter kan gaan gamen en/of gaan film kijken. Hij heeft 5 games die hij kan spelen, en 3 films die hij kan kijken. Als hij gaat gamen en een film gaat kijken, kan hij 5 × 3 = 15 combinaties maken tussen een game en een film. Er zijn dus 15 mogelijkheden voor wat hij gaat doen. Als hij gaat gamen of een film kijken, dan zijn er nog maar 5 + 3 = 8 mogelijkheden (hij kan tussen 5 games en 3 films kiezen).