WI - H5 - TW2

ABC-formules en discriminant

Om een vergelijking in de vorm $ax² + bx + c = 0$ op te lossen, bereken je de discriminant (D). Gebruik dit stappenplan:

1. Noteer welke getallen a, b, en c zijn.

2. Bereken de discriminant met de formule $D = b² - 4ac$

3. De oplossingen voor x zijn dan $\frac{- b\ + \ }{2a}$ en $\frac{- b\ - \ }{2a}$.

Let op! Je mag dit stappenplan alleen gebruiken als a ≠ 0.

Er zijn 2 oplossingen voor x als D > 0. Er is 1 oplossing als D = 0 en geen oplossing als D < 0. Dit geldt ook voor het aantal snijpunten met de x-as (van de parabool $ax² + bx + x$).

Oplossingsmethoden

Je hebt verschillende manieren om een kwadratische vergelijking op te lossen.

1. $x² = c$
   $2x² = 128$ → $x² = 64$ → $x = 8 \vee x = - 8$

2. Ontbinden in factoren

   1. Buiten haakjes brengen
      $2x² + 6x = 0$ → $x(2x + 6) = 0$ → $x = 0 \vee 2x + 6 = 0$ → $2x = - 6$ → $x = - 3$

   2. Product-som-methode
      $x² - 9x - 10 = 0$ → $(x - 6)(x - 2) = 0$ → $x - 6 = 0 \vee x - 2 = 0$ → $x = 6 \vee x = 2$

3. Kwadraatafsplitsen

$x² - 6x - 1 = 0$ → $(x - 3)² - 10 = 0$ → $(x - 3)² = 10$ → $x = 3 + \vee x = 3 -$

1. ABC-formule
   $2x(x - 5) = - 15$ → $2x² - 10x + 15 = 0$ → $D = - 20$, dus geen oplossing.

Lineaire ongelijkheden

$x < 4$ is een lineaire ongelijkheid. Ook $4x + 5 \leq 3x + 11$ is een ongelijkheid. Het teken $\leq$ betekent kleiner dan of gelijk aan.

Bij ongelijkheden kun je, net als bij vergelijkingen, ze oplossen door stapsgewijs te herleiden.

Als je hierbij moet delen of vermenigvuldigen door een negatief getal, dan moet je het ongelijkheidsteken omklappen (< wordt > en > wordt <).

Grafieken van ongelijkheden

De ongelijkheid $- 8 < x < 4$ kun je opdelen in 2 delen: $- 8 < x$ en $x < 4$. De ongelijkheid geeft dus aan dat x groter is dan -8, en kleiner dan 4. De ongelijkheid $x < 2 \vee x > 8$ geeft alle getallen x kleiner dan 2 of groter dan 8. Deze getallen kun je noteren op een getallenlijn. Je gebruikt dan een open bolletje (bij een ≤ of ≥ gebruik je een dicht bolletje)

De ongelijkheid $f(x) > g(x)$ vraagt: bij welke y-coördinaten is de y van f groter dan de y van g? Het antwoord voor de figuur hiernaast is $1 < x < 6$, want tussen 1 en 6 is de y van f groter dan die van g.

Bij de ongelijkheid $f(x) > g(x)$ kijk je dus waar de grafiek van f boven die van g ligt, en bij de ongelijkheid $f(x) < g(x)$ andersom.

Kwadratische ongelijkheden

De ongelijkheid $x² - 5 < x + 1$ is een kwadratische ongelijkheid. Om deze op te lossen maak je er een vergelijking van, door < of > te vervangen door =. Vervolgens los je het op met 1 van deze methodes.

Als in de ongelijkheid een < stond, neem je deze over in je antwoord. Je krijgt dan een ongelijkheid in de vorm $a < x < b$. Als er een > in de ongelijkheid stond, krijg je een ongelijkheid in de vorm $x < a \vee x > b$. Als er een streepje onder staat, neem je deze overal in je antwoord weer over.

Bij $f(x) < 0$ kijk je waar de grafiek van f onder de x-as ligt. Bij $f(x) > 0$ kijk je waar de grafiek boven de x-as ligt.

In sommige gevallen ligt een grafiek niet onder of boven de x-as. Je hebt dan soms geen uitkomst.