WI - H6

Haakjes wegwerken

Je werkt haakjes weg volgens de regels $a(b + c) = ab + ac$ en$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$. Je kunt het product van een twee- en drieterm wegwerken volgens de regel $(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be$. Haakjes wegwerken gaat altijd voor vermenigvuldigen.

Breuken herleiden

De breuk $\frac{a}{3}$ is hetzelfde als $\frac{1}{3}a$, want a delen door 3 is hetzelfde als $\frac{1}{3}$ keer a. Dus $\frac{a}{b} = \frac{1}{b}a$.

Bij het herleiden van breuken deel je de teller en noemer door dezelfde factor. Soms moet je eerst verplaatsen of ontbinden om te kunnen delen.

Voorbeeld: $\frac{3ab + 4bc}{2ab} = \frac{b(3a + c)}{2ab} = \frac{3a + 4c}{2a}$

Breuken met dezelfde noemer (onder de deelstreep) zijn gelijknamig. Gelijknamige breuken kun je optellen. Je deelt dan de tellers bij elkaar op, de noemer verandert niet.

Voorbeeld: $\frac{a}{a - 5} + \frac{2}{a - 5} = \frac{a + 2}{a - 5}$

Om niet-gelijknamige breuken op te tellen, maak je ze eerst gelijknamig.

Voorbeeld: $\frac{2}{3} + \frac{9}{7} = \frac{14}{21} + \frac{27}{21}$.

Je ziet hier dat de noemers gelijknamig zijn gemaakt door 3 en 7 te vermenigvuldigen. In de eerste breuk vermenigvuldig je alles met 7, en in de tweede breuk alles met 3. Dit kun je ook doen met letters.

Voorbeeld:$\frac{9}{a - 5} + \frac{2}{a} = \frac{9a}{a(a - 5)} + \frac{2(a - 5)}{a(a - 5)} = \frac{9a + 2(a - 5)}{a(a - 5)} = \frac{9a + 2a - 10}{a(a - 5)} = \frac{11a - 10}{a(a - 5)}$

Je mag haakjes in de noemer laten staan.

Bij het vermenigvuldigen van een breuk gebruik je de regel $breuk \bullet breuk = \frac{telller\ \bullet \ teller}{noemer\ \bullet \ noemer}$.

Voorbeeld: $\frac{7}{a} \bullet \frac{a + 3}{4} = \frac{7(a + 3)}{4a} = \frac{7a + 21}{4a}$

Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk.

Voorbeeld: $\frac{6}{8a} \div \frac{a - 5}{8} = \frac{6}{8a} \bullet \frac{8}{a - 5} = \frac{48}{8a(a - 5)} = \frac{6}{a(a - 5)}$

Gebroken vergelijkingen

Als een getal x omgekeerd evenredig is met een getal y, dan pas je de volgende regels toe:

Als je x vermenigvuldigt met b, dan moet je y delen door b. Dus hoe groter x wordt, hoe kleiner y wordt.
Het product xy is constant. Het getal xy heeft altijd dezelfde waarde. We noemen deze waarde a, dus xy = a.
Bij een omgekeerd evenredig verband hoort de formule $y = \frac{a}{x}$
Bij een omgekeerd evenredig verband hoort een hyperbool als grafiek.

Bij de verhoudingstabel hiernaast horen de breuken $\frac{2}{3}$ en $\frac{14}{21}$. Deze breuken zijn gelijk aan elkaar. Je kunt dus zeggen dat $\frac{2}{3} = \frac{14}{21}$. Je kunt dit controleren door kruislings vermenigvuldigen. Dan krijg je $2 \bullet 21 = 3 \bullet 14$, dus $42 = 42$, en dat klopt.

Een vergelijking als $\frac{4}{x - 2} = \frac{5}{7}$ is een gebroken vergelijking, want in een noemer staat een letter. Je kunt gebroken vergelijkingen oplossen door kruislings te vermenigvuldigen.

Wortels

Bij het herleiden van wortels mag je niet afronden, maar schrijf je de wortel helemaal op.

Voor het kwadraat van een wortel geldt de regel ${()}^{2} = a$.

Dus ${5()}^{2} = 5 \bullet 2 = 10$ en ${- 8()}^{2} = - 8 \bullet 3 = - 24$.

Het vermenigvuldigen van wortels gaat volgens de regel $\bullet =$. Dus $\bullet =$ en $5 \bullet 8 = 5 \bullet \bullet 8 \bullet = 5 \bullet 8 \bullet \bullet = 40$.

Je kunt een factor voor het wortelteken brengen, door een kwadraat te gebruiken. Voorbeeld: je weet dat $\bullet =$, dus $= \bullet$. Je kunt $$ oplossen, want dat is 2. Dus $`= \bullet = 2`$. Je moet kijken welke 2 termen je gebruikt (nu 4 en 5). Je moet ten minste 1 term hebben die een kwadraat is. Bij $$ kan dit niet, want $42 = 2 \bullet 21 = 3 \bullet 14 = 6 \bullet 7$, en geen van deze termen zijn kwadraten. Bij het herleiden van wortels zet je een zo groot mogelijke factor voor het wortelteken.

Je kunt gelijksoortige wortels (zelfde getal onder het wortelteken) optellen, net als bij letters: $5 + 9 = 14$. Je kunt $3 + 9$ niet herleiden, want de wortels zijn niet gelijksoortig. Let op! Soms lijst het alsof een wortel niet te herleiden is, maar door een zo groot mogelijke factor voor het wortelteken te brengen, zoals bij $+ 5$. Je krijgt dan $+ 5 = \bullet + 5 = 4 + 5 = 9$. $``$

Als je exact moet berekenen dan rond je niet af, en laat je wortels staan.

Voor het delen van wortels geldt $\frac{}{} =$, dus $\frac{}{} = =$

Wortelvergelijkingen

Een vergelijking als $= 34$ is een wortelvergelijking. Je vergelijkt namelijk een wortel met een ander getal. Je weet dat ${()}^{2} = a$, dus om de wortel “weg te krijgen” moet je het linker- en rechterlid kwadrateren. Je krijgt dan ${()}^{2} = 34^{2}$, dus $x = 1156$.

Om een wortelvergelijking op te lossen moet je de wortel isoleren: je moet ervoor zorgen dat in het linkerlid alleen een wortel staat.

Voorbeeld: $2 = 18$. Je moet eerst aan beide kanten delen door 2: $= 9$, en dan kom je uit op $x = 81$.

Je ziet dat je steeds het kwadraat van het rechterlid moet nemen. Daarom kun je de regel $= a$ geeft $x = a^{2}$ als $a \geq 0$ en heeft geen oplossing als $a < 0$, want de wortel van een negatief getal bestaat niet.