WI - H7 - TW3

Hellingen en tangens

Het hellingsgetal kun je berekenen met de formule hellingsgetal = verticale verplaatsing ÷ horizontale verplaatsing. Je kunt door deze formule om te bouwen ook de horizontale of verticale verplaatsing berekenen met het helingsgetal.

De hellingshoek van een driehoek is de hoek tussen de schuine zijde en de horizontale zijde. In de driehoek hiernaast is de hellingshoek dus ∠A.

Als je de waarde van de hellingshoek weet, kun je het hellingsgetal berekenen met de tangens (tan). Bij een hellingshoek van 35° hoort dus een hellingsgetal van tan(35°) ≈ 0,7. Hierbij hoort bovendien een hellingspercentage van 70%.

SOS-CAS-TOA

In een rechthoekige driehoek heb je verschillende goniometrische verhoudingen waarmee je hoeken en zijdes kan berekenen, zoals sinus (sin), cosinus (cos) en tangens (tan). Deze kun je onthouden met het ezelsbruggetje SOS-CAS-TOA.

sin(∠A) = overstaande rechthoekszijde van ∠A ÷ schuine zijde

cos(∠A) = aanliggende rechthoekszijde van ∠A ÷ schuine zijde

tan(∠A) = overstaande rechthoekszijde van ∠A ÷ aanliggende rechthoekszijde van ∠A

Om van een goniometrische verhouding naar een hoek te gaan, kun je de inverse goniometrische verhoudingen gebruiken (sin^-1, cos^-1 en tan^-1). Gebruik de regel: als sin(∠A) = x, is ∠A = sin^-1(x). Je kunt uiteraard hetzelfde doen met cos^-1 en tan^-1.

Deze formule mag je echter niet opschrijven, want de notatie sin^-1 is eigenlijk niet correct.

Je kunt de formules voor sin, cos en tan ook ombouwen, om zijdes te berekenen.

Voorbeelden

Berekening BC:

$tan(\angle A) = \frac{BC}{AB}$

$tan(50{^\circ}) = \frac{BC}{1,7}$

BC = 1, 7 • tan(50^∘) ≈ 2

Berekening BC:

$sin(\angle C) = \frac{AB}{BC}$

$sin(61{^\circ}) = \frac{2,1}{BC}$

$LM = \frac{2,1}{sin(61{^\circ})} \approx 2,1$

Berekening ∠A:

$cos(\angle A) = \frac{AB}{AC} = \frac{3.2}{4.5}$

$\angle A = \cos^{- 1}(\frac{3.2}{4.5}) \approx 44,7{^\circ}$

Ruimtelijke hoeken berekenen

Ruimtelijk hoeken worden vaak aangegeven met 3 letters, zoals $\angle$BAC. In dit geval is de hoek die van de lijnstukken AB en AC. De letter waar de hoek bij staat, staat in het midden (dus A).

Om een hoek in een ruimte te berekenen, gebruik je het volgende stappenplan:

Schets het vlak waar de driehoek in ligt, of de driehoek zelf.
Bereken ontbrekende lijnstukken, met bijv. de stelling van Pythagoras.
Bereken de gevraagde hoek met sin, cos of tan.