Wiskunde B: Hoofdstuk 5 (Machten, exponenten en logaritmen)

Rekenregels machten

$a^p \cdot a^q=a^{p+q}$
$\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$
$(a^p)^q=a^{pq}$
$(ab)^p=a^pb^p$
$a^0=1$
$a^1=a$
$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$
$a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a}$
$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$

Voor de vergelijking $x^{\frac{a}{b}}=c$ met $c>0$ en $x>0$ geldt $x^{\frac{a}{b}}=c$ geeft $x=c^{\frac{b}{a}}$. Deze regel kun je ook toepassen om de variabele $x$ vrij te maken bij $y=ax^p$.

Voorbeeld:
$y=19x^{-3 \frac{1}{2}}$
$19x^{-3 \frac{1}{2}}=y$
$19x^{-\frac{7}{2}}=y$
$x^{-\frac{7}{2}}=\frac{1}{19}y$
$x=(\frac{1}{19}y)^{-\frac{2}{7}}$
$x=(\frac{1}{19})^{-\frac{2}{7}}\cdot y^{-\frac{2} {7}}$
$x=19^{\frac{2}{7}}\cdot y^{-\frac{2}{7}}$

Standaardfuncties

De functies $f(x)=ax^n$ zijn standaardfuncties, en de bijbehorende grafieken zijn standaardgrafieken. Bij even waarden van $n$ is de grafiek lijnsymmetrisch met de $y$-as. Bij oneven waarden van $n$ is de grafiek puntsymmetrisch met de oorsprong als punt van symmetrie.

Een grafiek kun je verschuiven: er ontstaat dan een beeldgrafiek. Deze verschuiving heet een translatie. $y=ax^n \xrightarrow{\text{translatie}~(p,~q)} y=a(x-p)^n+q$ Voor een horizontale translatie van $p$ naar rechts vervang je x dus door $x-p$, en voor een horizontale translatie van $p$ naar links vervang je x dus door $x+p$. Voor een verticale translatie van $q$ tel je $q$ op bij de functiewaarde. Voor een vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$-as vermenigvuldig je de functiewaarde. $y=x^n \xrightarrow{\text{verm.}~x\text{-as met}~a} y=ax^n$ Translaties en vermenigvuldigingen zijn voorbeelden van transformaties.

Wortelfuncties

De eenvoudigste wortelfunctie is $f(x)=\sqrt{x}$. Dit is een standaardfunctie, en de grafiek is dus ook een standaardgrafiek. De grafiek is een halve parabool die de $y$-as in het randpunt $O(0,~0)$ raakt. Het domein (alle waarden op de $x$-as) van $f$ is $D_f=[0,\rightarrow \rangle$ en het bereik (alle waarden op de $y$-as) is $B_f=[0,\rightarrow \rangle$.

Om het domein te vinden van een wortelfunctie als $g(x)=-9+\sqrt{5+3x}$ ga je als volgt te werk:

Onder het wortelteken moet een niet-negatief getal staan, want de wortel van een negatief getal heeft geen reële uitkomst, dus
$5+3x\geq 0$
$3x\geq -5$
$x\geq -\frac{5}{3}$
De $x$-coördinaat van het randpunt is dus $-\frac{5}{3}$, want hier begint de grafiek.
Dus $D_g=[-\frac{5}{3},\rightarrow \rangle$
De $y$-coördinaat van het randpunt krijg je door $g(-\frac{5}{3})=-9+\sqrt{5+3\cdot -\frac{5}{3}}=-9+\sqrt{0}=-9$.
Het randpunt is dus $(-\frac{5}{3},~-9)$.

Je kunt de variabele $x$ vrijmaken bij een wortelfunctie als $y=2+\sqrt{x-3}$:
$y-2=\sqrt{x-3}$
$(y-2)^2=x-3$
…
$x=y^2-4y+7$

Bij het vrijmaken van een variabele hoef je geen voorwaarden te vermelden.

Exponentiele functies

De functies $f(x)=g^x$ met $g>0$ en $g\neq 1$ zijn exponentiele standaardfuncties.

Exponentiële standaardfuncties hebben een asymptoot: een lijn waarmee de grafiel op den duur vrijwel samenvalt.

De functie $f(x)=2^x$ valt samen met de $x$-as, dus de $x$-as is de horizontale asymptoot. Het bereik van deze functie is $B_f=\langle 0, \rightarrow \rangle$. Het domein bestaat uit alle reële getallen, dus $D_f=\mathbb{R}$.

Hieronder een overzicht van transformaties op $y=g^x$

$y=g^x \xrightarrow{\text{verm.}~x\text{-as met}~a} y=a\cdot g^x$ (asymptoot $y=0$)
$y=g^x \xrightarrow{\text{verm.}~y\text{-as met}~b} y=g^{\frac{1}{b}\cdot x}$ (asymptoot $y=0$)
$y=g^x \xrightarrow{\text{translatie}~(0,~q)} y=g^x+q$ (asymptoot $y=q$)
$y=g^x \xrightarrow{\text{translatie}~(p,~0)} y=g^{x-p}$ (asymptoot $y=0$)

Je kunt vergelijkingen als $y=120\cdot 3^{2x-1}$ herleiden tot de vorm $y=b\cdot g^x$. je maakt dan gebruik van de regels $(a^p)^q=a^{pq}$ en $a^p \cdot a^q=a^{p+q}$. Voorbeeld: $2^{3x-4}=2^{3x}\cdot 2^4=(2^3)^x\cdot 16=8^x\cdot 16$.

Een exponentiele vergelijking als $2^{12+x}=\sqrt{2}$ kun je oplossen met de regel $g^A=g^B$ geeft $A=B$. Om zo’n vergelijking op te lossen moeten beide leden dus hetzelfde grondtal hebben. Soms moet je eerst herleiden om 2 leden met een gelijk grondtal te krijgen.

Voorbeeld:
$3^{x+2}=72+3^x$
$3^x\cdot 3^2=72+3^x$
$9\cdot 3^x-3^x=72$
$8\cdot 3^x=72$
$3^x=9$
$3^x=3^2$
$x=2$